高校くらいの数学の証明です。

ポイント

①n=2*m-1と置く

②数学的帰納法をつかう。

ポイントの①

n が奇数のとき、つぎのように表現できる。

n = 2*m - 1 (m:自然数)

これを（2^n）＋1 に代入して

(2^n)＋1

= (2^(2*m-1))+1

= 1/2 * 4^m +1

ポイント②

(i) m=1のとき

(2^n+1)

= 1/2*4^1+1

= 3...明らかに3の倍数

1/2*4^m +1が、m=kのときに3の倍数であると仮定すると

(ii)m=k+1のとき

1/2*4^(m+1)+1

= 1/2*4^m + 1/2*4^(1) + 1

= 1/2*4^m + 3...3の倍数(*3の倍数+3は、3の倍数だから)

したがって、m=1のとき3の倍数であり、、

かつ、m=kのとき3の倍数であると仮定して、m=k+1のときも3の倍数であるので、

1/2 * 4^m +1は、つねに3の倍数である。

すなわち、（2^n）＋1は、、nが奇数の時必ず3の倍数になっている

久しぶりに、高校生の頃の知識を思い出して解いてみました。

n=2i+1 i=0,1,2・・・とする。

I)

i=0のとき

(2^1)+1=3で３の倍数。

II)

i>0のとき

f(i)=(2^(2i+1))+1とすると

f(i+1)

=(2^(2(i+1)+1)+1

=(2^(2i+1))x (2^2)+1

=3(2^(2i+1))+(2^(2i+1))+1

=3(2^(2i+1))+f(i)

ここで、3(2^(2i+1))は３の倍数。

だからf(i)が３の倍数ならf(i+1)も３の倍数

以上より数学的帰納法にてnが奇数の時必ず3の倍数になっていることが証明できた。

奇数を2m-1として代入せずに、数学的帰納法だけ使う方が簡単です。

１）　n=1のとき、(2^1)+1=3　で３の倍数

２） （2^n）＋1が３の倍数と仮定すると

n+2のとき

(2^(n+2))+1=2^n*2^2+1=4(2^n)+1=4((2^n)+1)-3

これは３の倍数となる。

（０以下の奇数の場合を考慮するならn-2としてもいい）

３）　１）と２）からnが奇数の時必ず３の倍数となる。

因数定理を知っているとこんな導出が出来ます。

一般に、(x^n)+1(n=奇数)は、x+1を因数として含みます。

それは、(x^n)+1(n=奇数)にx=-1を代入すると全体が0になるからです。

全体が0になるなら、これはx+1で割れる、つまりx+1を因数として含む。これが何故かは因数定理を勉強するとわかります。

そして、これを言ってしまえば、あとはxに2を入れると問題の式になる。