数学になりますが、どうぞよろしくお願い致します。

まず、Aの真上ぐらいに点Cがあることを考えます。
楕円なので、AC + CD = l は成り立ちますよね。
ここで、AC + CB を考えるとき、BDに補助線を引きます。
すると、BC CD DB の３つの直線で三角形が出来ますよね。
(CDBは直線上ではありません)
このとき、三角形の１辺は他辺の和より短いので、
DB + BC > CD が成り立ちます。①

また、B も D も、位置が固定の点ですから、BDの長さも固定です。
したがって、AC + CB の最小値を求めるということは、
AC + CB + BD の最小値を求めるのと等価です。

①から、AC + CB + BD > AC + CD と言えます。
AC + CD = lですから、
AC + CB + BD > lです。

ここで、点Cを点Bの上の方に移動していくことをイメージします。
すると三角形BCDはどんどん細長くなっていきます。
そして、DBCが直線上に並んだところで面積が0になり、
AC + CB + BD = l となります。
これがAC + CB + BDの最小値であり、
すなわち、AC + CBの最小値です。


最大値を求めるときは、
CをまずAの真下あたりに置いて考えます。
AC + CD = l　です。
また三角形なので、CD + DB > CB です。
AC + CD + DB = l + DB は、Cがどの位置でも一定です。
この2つの式から、
AC + CD + DB > AC + CB
が成り立ちます。

そして、Cを左に動かしていって、Bの真下を通過してBDの直線上にCが来たとき、
AC + CD + DB = AC + CB
となります。このときがAC + CBの最大値となります。

>点Dは通るのか通らないのかわかりません。
これについて答えていませんでした。

最大値の時は、折れ線AC-CBは点Dを通ります。
最小値の時は、折れ線AC-CBは点Dを通りません。ただしCBの延長線上に点Dがきます。

最大値、最小値以外の時は、点Dは直線CB上に来ることはありません。
ただし、一意の点Cで、直線AC上に点Dがきます。

ありがとう！
　
> したがって、AC + CB の最小値を求めるということは、
> AC + CB + BD の最小値を求めるのと等価です。
　
どうしてもこの部分がわかりません。
これが成り立つのは、Dに向かって補助線を引いていることが前提だからではないでしょうか？なぜBから焦点Dに向かって補助線を引くのか？？？その理由が知りたい。
　
「D以外の点D'（x軸上の点）に向かって補助線を引き、同様に考えたら、●●という理由でAC + CBは最大最小をとりえない。だから点Dに向かって補助線を引く。」
このような事前説明がなんとかできないでしょうか？
　
繰り返しますが、Dを考慮すれば、
AC + CD = l
という楕円の特性が扱えますから、非常に便利だということはわかります。ですが、なぜAC + CBの最大最小を考えるのに、Dを扱うという発想が生まれるのかがどうしてもわからないのです。
　
もう少しアドバイスいただければ幸いです。

すみません。一生懸命考えたのですが、なぜＤを使うのかを説明できません。
そこにＤがあったから使ったというか、
miku1973さんの説明文を見て思いついたというか。
使ってみたら出来ちゃったというか。

ただ、楕円ですから、焦点を何とか利用できないだろうか？と考えるのは
比較的自然な考え方ではないかと思います。
（補助線を引いてさらに対称点を用意して、などとやるのと比べれば）