ある特定の条件(特定の病気を経験したことがある)に合致する人(スクリーニング調査)を対象にアンケートを行いたいと、考えています。

病気を経験した人へアンケートをとるという行為が厚生労働省の考える人を対象とした研究にあたると解釈されていると思われます。

研究に関する指針について ｜厚生労働省

これは、病院などで特定の疾患をもった人、経験した人にアンケートをとる場合にも、参照される指針です。書面で、そのアンケートの目的、手続き、倫理的に問題になりそうな事項とそれへの対処といった研究の計画書（倫理審査書類）を作成し、病院や研究機関に設置してある倫理委員会という所で「このアンケートは倫理的な問題は大丈夫ですね」という承認をうけるのが一般的な手続きです。

そのような手順を踏んで行う場合には、お医者さんとタッグを組んで研究としてガッツリ行うという方法があります。そうすれば「倫理審査も受けているのなら、信頼できるな」ということで請け負ってくれる場所はあると思います（さらにその機関でも倫理審査を受ける必要があるかもしれませんが）。

「いやいや、商用で研究とかじゃないから」ということであれば、特にそのあたりを気にしない企業さんを見つけて調査させてもらうという手もあります。ただし、上記の回答者さんがおっしゃられているように個人情報の問題もありますので、ハイリスクな手法といわざるを得ないでしょう。